Статья
Формулы площади поверхности правильной четырехугольной пирамиды. Расчет полной площади пирамиды Хеопса
0

Формулы площади поверхности правильной четырехугольной пирамиды. Расчет полной площади пирамиды Хеопса

by admin21.12.2018

Изучая объемные фигуры в курсе стереометрии, школьники часто сталкиваются с задачей определения площади их поверхности. Успешное решение этой задачи возможно, если четко представлять, с какой фигурой ведется работа. Данная статья посвящена вопросу определения площади поверхности правильной пирамиды (четырехугольной).

Описание фигуры

Начнем раскрытие вопроса статьи с определения правильной четырехугольной пирамиды. Под ней в геометрии понимают фигуру в пространстве, которая образована одним квадратом и четырьмя одинаковыми равнобедренными треугольниками (при определенных параметрах фигуры эти треугольники могут быть равносторонними). Пример рассматриваемой фигуры показан ниже.

правильные пирамиды площадь поверхности

Каждый равнобедренный треугольник пересекается по боковым граням с двумя соседними треугольниками, и по грани основания — с квадратом. Кроме того, все четыре треугольника пересекаются в одной точке, которая носит название главной вершины пирамиды. Помимо нее, фигура имеет еще четыре вершины, но все они принадлежат основанию.

Четырехугольной эта пирамида называется потому, что ее основание является четырехугольником. А правильной она считается потому, что это основание представляет собой квадрат, и сама фигура является прямой. Последнее означает, что опущенный с вершины перпендикуляр на квадрат пересекает его точно в геометрическом центре.

Что собой представляет площадь поверхности правильной пирамиды (четырехугольной)

Многим будет нелегко ответить на этот вопрос. Действительно, мы рассматриваем объемную фигуру, а когда говорят о площадях, то имеют в виду силуэт на плоскости. В связи со сказанным в геометрии для вычисления площадей пространственных объектов используют их плоские развертки.

как найти площадь правильной четырехугольной пирамиды

Развертку рассматриваемой пирамиды получить несложно. Предположим, что у нас имеется бумажная фигура с квадратным основанием. Возьмем ножницы и отрежем от нее квадрат. Затем разрежем вдоль бокового ребра (отрезок пересечения треугольников) пирамидальную поверхность и развернем ее в плоскую интерпретацию. В результате этих действий у нас получится плоская фигура, подобная той, что показана на рисунке.

площадь четырехугольной пирамиды формулы примеры

Таким образом, отвечая на вопрос, как найти площадь правильной четырехугольной пирамиды, следует сказать, что для этого нужно сложить площадь квадрата и площади четырех одинаковых треугольников.

Формулы для нахождения величины

Из планиметрии известно, что расчет площади производится с учетом знания линейных параметров плоской фигуры. В нашем случае речь идет о двух типах объектов: равнобедренном треугольнике и квадрате.

Обозначим сторону четырехугольника буквой a, а высоту треугольника hb (она называется апофемой пирамиды). Тогда для площади So квадрата можно записать:

So = a2

Площадь же треугольника S3 будет равна:

S3 = 1 / 2 * a * hb

Поскольку треугольников с площадью S3 в рассматриваемой пирамиде четыре штуки, то формула площади поверхности правильной пирамиды (четырехугольной) примет вид:

S = So + 4 * S3 = a2 + 4 / 2 * a * hb = a * (a + 2 * hb)

При решении некоторых задач вместо апофемы hb может быть известен другой линейный параметр пирамиды — высота h. Поэтому будет полезным, если мы здесь приведем формулу для S через параметры a и h.

Решить поставленную задачу можно, если увидеть внутри пирамиды треугольник прямоугольный, и рассчитать гипотенузу-апофему по следующей формуле:

hb = √(h2 + a2 / 4)

Подставляя это выражение в записанную выше формулу для S, получаем:

S = a * (a + 2 * √(h2 + a2 / 4))

Это выражение выглядит несколько сложнее, чем первое. Тем не менее, оно чаще используется при рассмотрении геометрических проблем с четырехугольной пирамидой.

Записанные формулы для площади рассматриваемой фигуры можно не запоминать, важно лишь ясно представлять развертку пирамиды и уметь находить площадь треугольника.

Использование формулы площади четырехугольной пирамиды на примере сооружения Хеопса

Пирамида Хеопса

Конечно же, речь идет о пирамиде Хеопса — самой знаменитой каменной постройки за всю известную нам историю. Рассчитаем площадь поверхности этого гиганта, используя следующие данные о нем:

  • среднее значение длины стороны основания равно 230,363 метра;
  • начальная высота сооружения составляла 146,50 метра.

Чтобы найти искомую площадь, следует воспользоваться второй формулой, приведенной в предыдущем пункте статьи. Сделаем это:

S = a * (a +2 * √(h2 + a2 / 4)) = 230,3632 + 230,363 * 2 * √(146,502 + 230,3632 / 4) ≈ 138 927 м2

Чтобы понять, насколько огромно рассчитанное значение, сравним его с параметрами футбольного поля (5 000 м2). Полная площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды Хеопса почти в 28 раз больше величины площадки для игры.

Источник

About The Author
admin

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *