Сумма бесконечной геометрической прогрессии убывающей и парадокс Зенона

Некоторые задачи физики и математики могут быть решены с использованием свойств числовых рядов. Две самых простых числовых последовательности, которые изучаются в школах, это алгебраическая и геометрическая. В данной статье рассмотрим подробнее вопрос, как найти сумму бесконечной прогрессии геометрической убывающей.

Прогрессия геометрическая

Под этими словами понимают такой ряд действительных чисел, элементы ai которого удовлетворяют выражению:

Вам будет интересно:Тело, брошенное под углом к горизонту: типы траекторий, формулы

ai = ai-1*r

Здесь i - номер элемента в ряду, r - постоянное число, которое называется знаменателем.

Это определение показывает, что, зная любой член прогрессии и его знаменатель, можно восстановить весь ряд чисел. Например, если известен 10-й элемент, то разделив его на r, получим 9-й элемент, затем, разделив еще раз, получим 8-й и так далее. Эти простые рассуждения позволяют записать выражение, которое справедливо для рассматриваемого ряда чисел:

ai = a1*ri-1

Примером прогрессии со знаменателем 2 может быть такой ряд:

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

Если же знаменатель будет равен -2, тогда получается совершенно другой ряд:

1, -2, 4, -8, 16, -32, ...

Прогрессия геометрическая является гораздо более быстрой, чем алгебраическая, то есть ее члены быстро растут и быстро уменьшаются.

Сумма i членов прогрессии

Для решения практических задач часто приходиться вычислять сумму нескольких элементов рассматриваемой числовой последовательности. Для этого случая справедлива следующая формула:

Si = a1*(ri-1)/(r-1)

Видно, что для вычисления суммы i членов необходимо знать всего два числа: a1 и r, что является логичным, поскольку они однозначно определяют всю последовательность.

Убывающая последовательность и сумма ее членов

Теперь рассмотрим частный случай. Будем считать, что модуль знаменателя r не превышает единицы, то есть -1

Убывающую геометрическую прогрессию интересно рассмотреть, потому что бесконечная сумма ее членов стремится к конечному действительному числу.

Получим формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии убывающей. Это легко сделать, если выписать выражение для Si, приведенного в предыдущем пункте. Имеем:

Si = a1*(ri-1)/(r-1)

Рассмотрим случай, когда i->∞. Поскольку модуль знаменателя меньше 1, то возведение его в бесконечную степень даст ноль. Это можно проверить на примере r=0,5:

0,52 = 0,25; 0,53 = 0,125; ...., 0,520 = 0,0000009.

В итоге сумма членов бесконечной геометрической прогрессии убывающей примет форму:

S∞ = a1/(1-r)

Эта формула часто используется на практике, например, для вычисления площадей фигур. Ее также применяют при решении парадокса Зенона Элейского с черепахой и Ахиллесом.

Очевидно, что рассмотрение суммы бесконечной прогрессии геометрической возрастающей (r>1), приведет к результату S∞ = +∞.

Задача на нахождение первого члена прогрессии

Покажем, как следует применять приведенные выше формулы на примере решения задачи. Известно, что сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 11. При этом 7-й ее член в 6 раз меньше третьего члена. Чему равен первый элемент для этого числового ряда?

Для начала выпишем два выражения для определения 7-го и 3-го элементов. Получаем:

a7 = a1*r6

a3 = a1*r2

Разделив первое выражение на второе, и выражая знаменатель, имеем:

a7/a3 = r4 => r = 4√(a7/a3)

Поскольку отношение седьмого и третьего членов дано в условии задачи, можно его подставить и найти r:

r = 4√(a7/a3) = 4√(1/6) ≈ 0,63894

Мы рассчитали r с точностью пяти значащих цифр после запятой. Поскольку полученное значение меньше единицы, значит, прогрессия является убывающей, что оправдывает использование формулы для ее бесконечной суммы. Запишем выражение для первого члена через сумму S∞:

a1 = S∞*(1-r)

Подставляем в эту формулу известные значения и получаем ответ:

a1 = 11*(1-0,63894) = 3,97166.

Знаменитый парадокс Зенона с быстрым Ахиллесом и медленной черепахой

Зенон Элейский - известный греческий философ, живший в V веке до н. э. До настоящего времени дошли ряд его апогей или парадоксов, в которых формулируется проблема бесконечно большого и бесконечно малого в математике.

Одним из известных парадоксов Зенона являются соревнования Ахиллеса и черепахи. Зенон полагал, что если Ахиллес предоставит некоторое преимущество черепахе в расстоянии, то он никогда не сможет ее догнать. Например, пусть Ахиллес бежит в 10 раз быстрее, чем ползет животное, которое для примера находится на расстоянии 100 метров впереди него. Когда воин пробежит 100 метров, то черепаха отползет на 10. Пробежав вновь 10 метров, Ахиллес увидит, что черепаха отползла еще на 1 метр. Рассуждать так можно до бесконечности, расстояние будет между соревнующимися действительно уменьшаться, но черепаха будет всегда находиться впереди.

Этот парадокс привел Зенона к выводу, что движения не существует, и все окружающие перемещения объектов - это иллюзия. Конечно же, древнегреческий философ ошибался.

Решение парадокса кроется в том, что бесконечная сумма постоянно уменьшающихся отрезков, стремится к конечному числу. В приведенном выше случае для расстояния, которое пробежал Ахиллес, получим:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...

Применяя формулу суммы бесконечной прогрессии геометрической, получим:

S∞ = 100 /(1-0,1) ≈ 111,111 метров

Этот результат показывает, что Ахиллес догонит черепаху, когда она проползет всего 11,111 метров.

Древние греки не умели работать с бесконечными величинами в математике. Однако этот парадокс можно разрешить, если обратить внимание не на бесконечное число промежутков, которые должен преодолеть Ахиллес, а на конечное число шагов бегуна, необходимых для достижения цели.

Источник