Теорема Эрроу о невозможности и ее эффективность

Парадокс теории общественного выбора впервые описан маркизом Кондорсе в 1785 году, которая в 50-х годах прошлого столетия была удачно обобщена американским ученым экономистом К. Arrow. Теорема Эрроу отвечает на очень простой вопрос в теории коллективного принятия решений. Скажем, есть несколько вариантов для выбора в вопросах политики, публичных проектов или распределения доходов и есть люди, чьи предпочтения определяют этот выбор.

Вопрос состоит в том, какие существуют процедуры для качественного определения выбора. И как узнать о предпочтениях, о коллективном или социальном упорядочении альтернатив, от лучших к худшим. Ответ Arrow на этот вопрос многих удивил.

Вам будет интересно:Военная немецкая техника Второй мировой войны

В теореме Эрроу говорится, что таких процедур вообще нет - в любом случае они не отвечают определенным и вполне разумным предпочтениям людей. Техническая структура, в которой Эрроу дал ясный смысл проблеме социального заказа, и его строгий ответ в настоящее время широко используются для изучения проблем в социальной экономике. Сама теорема легла в основу современной теории общественного выбора.

Теория общественного выбора

Теорема Эрроу показывает, что если у избирателей есть хотя бы три альтернативы, то не существует избирательной системы, которая могла бы трансформировать выбор отдельных людей в общественное мнение.

Вам будет интересно:Теории великого объединения: история возникновения, основные положения

Шокирующее заявление исходило от экономиста и нобелевского лауреата Кеннета Джозефа Эрроу, который продемонстрировал этот парадокс в докторской диссертации и популяризировал его в книге «Социальный выбор и индивидуальные ценности», изданной в 1951 году. Оригинальная статья имеет название «Трудности в концепции социального обеспечения».

В теореме Эрроу говорится, что невозможно разработать избирательную систему с порядком, которая всегда соответствовала бы справедливым критериям:

Системы государственного социального управления

Хотя американский экономист Кеннет Эрроу получил Нобелевскую премию по экономике, работа принесла больше пользы для развития социальных наук, поскольку теорема «О невозможности» Эрроу положила начало совершенно новому направлению экономики - социальному выбору. Эта отрасль пытается математически проанализировать принятие совместных решений, в частности в области систем государственного социального управления.

Вам будет интересно:Изучение школьного русского языка. Разделы русского языка

Выбор - это демократия в действии. Люди идут на выборы и выражают свои предпочтения, и в итоге, предпочтения многих людей должны объединиться, чтобы принять совместное решение. Вот почему выбор метода голосования очень важен. Но есть ли идеальное голосование в действительности? Согласно результатам теории Эрроу, полученным в 1950 году, ответ отрицательный. Если под «идеальным» подразумевается преференциальный метод голосования, который соответствует критериям, определенных разумных методов голосования.

Предпочтительным методом голосования является ранжирование, когда избиратели оценивают всех кандидатов в соответствии с предпочтениями, и на основе этих оценок получается результат: еще один список всех кандидатов, которые должны быть представлены общей волей людей. По теореме «О невозможности» Эрроу можно указать разумный способ голосования:

По условиям теоремы Эрроу выходит, что в случае выборов с тремя и более критериями, не существует функций социального выбора, которые бы одновременно подходили бы для ND, PE и IIA.

Рациональная система выбора

Необходимость агрегирования предпочтений проявляется во многих областях жизнедеятельности людей:

По условиям теоремы Эрроу различают порядок предпочтений для данного набора параметров (результатов). Каждая единица в обществе или каждый критерий принятия решения, присваивает определенный порядок предпочтений в отношении набора результатов. Общество ищет систему голосования на основе рейтинга, называемую функцией социального обеспечения.

Это правило агрегирования предпочтений преобразует набор профиля предпочтений в один глобальный публичный порядок. Утверждение Эрроу гласит, что, если в руководящем органе есть, по крайней мере, два избирателя и три критерия выбора, невозможно создать функцию социального обеспечения, которая будет удовлетворять всем этим условиям сразу.

Для каждого набора индивидуальных предпочтений избирателей функция социального обеспечения должна выполнять уникальный и всеобъемлющий рейтинг общественного отбора:

Независимость от нерелевантных альтернатив (IIA)

Вам будет интересно:Что такое фурор? Желание выделиться или следствие страха?

Выбор между X и Y связан исключительно с предпочтениями индивида между X и Y – это независимость в парах (попарная независимость), согласно теореме Эрроу «О невозможности демократии». При этом изменение оценки человека нерелевантных альтернатив, расположенных вне таких групп, не оказывает влияния на социальную оценку данного подмножества. Например, представление третьего кандидата на выборах с двумя кандидатами не оказывает влияние на результат выборов, если только третий кандидат не победит.

Обществу присуще однообразие и положительное сочетание социальных и индивидуальных ценностей. Если человек меняет свой порядок предпочтений, продвигая определенный вариант, то порядок предпочтений общества должен соответствовать тому же варианту без изменения. Человек не должен быть в состоянии навредить опциону, оценивая его выше.

В теореме «О невозможности» эффективность и справедливость в обществе обеспечиваются через суверенитет гражданина. Каждый возможный общественный порядок предпочтений должен быть достижим с помощью некоторого набора индивидуальных порядков предпочтений. Это означает, что функция социального обеспечения сюръективна - у нее неограниченное целевое пространство. Более поздняя (1963 год) версия теоремы Эрроу заменила критерии монотонности и отсутствия наложения.

Парето. Эффективность или единодушие?

Если каждый человек предпочитает определенный вариант другому, то порядок социальных предпочтений также должен это делать. Необходимо, чтобы функция социального обеспечения была минимально чувствительной к профилю предпочтений. Эта поздняя версия является более общей и имеет несколько слабые условия. Аксиомы однообразия, отсутствие перекрытия вместе с IIA , обозначают эффективность Парето. В то же время она не предполагает наложения IIA и не подразумевает монотонность.

IIA имеет три цели:

Эффективность по Парето, названная в честь итальянского экономиста и политолога Вильфредо Парето (1848-1923 гг.), используется в неоклассической экономике наряду с теоретической концепцией совершенной конкуренции в качестве ориентира для оценки эффективности реальных рынков. Нужно отметить, что ни один из результатов не достигается за пределами экономической теории. Гипотетически, если бы существовала совершенная конкуренция и ресурсы использовались с максимальной эффективностью, то у каждого был бы самый высокий уровень жизни, или эффективность по Парето.

На практике невозможно предпринять какие-либо социальные действия, такие как изменение экономической политики, без ухудшения положения хотя бы одного человека, поэтому концепция улучшения по Парето нашла более широкое применение в экономике. Улучшение по Парето происходит, когда изменение в распределении никому не вредит и помогает, по крайней мере, одному человеку, учитывая первоначальное распределение товаров для группы лиц. Теория предполагает, что улучшения по Парето будут продолжать увеличивать ценность для экономики до тех пор, пока не будет достигнуто равновесие по Парето, когда больше никаких улучшений не может быть сделано.

Формальное изложение теоремы

Пусть A будет набором результатов, N количеством избирателей или критериев принятия решения. Обозначают множество всех полных линейных упорядочений из А на L (A). Строгая функция социального обеспечения (правило агрегации предпочтений) является функцией которая, агрегирует предпочтения избирателей в разовом порядке предпочтения на A.

N - кортеж (R 1, ..., R N) ∈ L (A) N предпочтений избирателей называется профилем предпочтений. В своей самой сильной и простой форме теорема Эрроу о невозможности гласит, что всякий раз, когда множество возможных альтернатив A имеет более 2 элементов, следующие три условия становятся несовместимыми:

Интерпретация теоремы

Хотя теорема «О невозможности» доказана математически, ее часто выражают нематематическим способом с помощью такого утверждения, что ни один из методов голосования не является справедливым, каждый ранжированный метод голосования имеет недостатки, или единственный метод голосования, который не является ошибочным, - это диктатура. Эти утверждения являются упрощением результата Эрроу, который не всегда считается верным. Теорема Эрроу утверждает, что детерминированный механизм преимущественного голосования, то есть тот, в котором порядок предпочтений является единственной информацией при голосовании, а любой возможный набор голосов дает уникальный результат, не может соответствовать одновременно всем условиям, указанным выше.

Различные теоретики предлагали ослабить критерий IIA как выход из парадокса. Сторонники рейтинговых методов голосования утверждают, что IIA является неоправданно сильным критерием, который нарушен в большинстве полезных избирательных систем. Сторонники этой позиции указывают на то, что несоблюдение стандартного критерия IIA тривиально подразумевается возможностью циклических предпочтений. Если избиратели голосуют следующим образом:

• 1 голос за A> B> C;
• 1 голос за B> C> A;
• 1 голос за C> A> B.

Тогда предпочтение группы в парном большинстве состоит в том, что A выигрывает у B, B выигрывает у C, а C выигрывает у A и это дает предпочтение «ножницы-рок-ножницы» для любого парного сравнения.

В этом случае любое правило агрегации, которые удовлетворяет основному мажоритарному требованию о том, что кандидат, получивший большинство голосов, должно победить на выборах, не будет соответствовать критерию IIA, если социальные предпочтения должны быть транзитивными или ациклическими. Чтобы увидеть это, предполагают, что такое правило удовлетворяет IIA. Поскольку предпочтения большинства соблюдаются, общество отдает предпочтение A - B (два голоса за A> B и один за B> A), B - C и C - A. Таким образом, создается цикл, который противоречит предположению о том, что социальные предпочтения транзитивны.

Итак, теорема Эрроу действительно показывает, что любая избирательная система с большинством побед - нетривиальная игра, и что теория игр должна использоваться для прогнозирования результатов большинства механизмов голосования. Это может рассматриваться как обескураживающий результат, потому что игра не должна иметь эффективных равновесий, например, голосование может привести к альтернативе, которую никто в действительности не хотел, но за нее проголосовали все.

Социальный выбор вместо предпочтений

Вам будет интересно:Рычаг: условие равновесия. Условие равновесия рычага: формула

Рациональный коллективный выбор механизма голосования по теореме Эрроу не является целью принятия социальных решений. Часто достаточно найти какую-то альтернативу. Подход, сфокусированный на выборе альтернативы, исследует либо функции социального выбора, которые отображают каждый профиль предпочтений, либо правила социального выбора - функции, которые отображают каждый профиль предпочтений в подмножество альтернатив.

Что касается функций социального выбора, то хорошо известна теорема Гиббарда-Саттертвейта, которая гласит, что если функция социального выбора, диапазон которой содержит хотя бы три альтернативы, является стратегически устойчивой, то она является диктаторской. Рассматривая правила социального выбора, считают, что за ними стоят социальные предпочтения.

То есть рассматривают правило, как выбор максимальных элементов - лучших альтернатив какого-либо социального предпочтения. Множество максимальных элементов социального предпочтения называется ядром. Условия существования альтернативы в ядре исследовались в двух подходах. Первый подход предполагает, что предпочтения являются, по меньшей мере, ациклическими, что необходимо и достаточно для того, чтобы предпочтения имели максимальный элемент в любом конечном подмножестве.

По этой причине это тесно связано с расслабляющей транзитивностью. Второй подход отбрасывает предположение об ациклических предпочтениях. Кумабе и Михара приняли этот подход. Они сделали более последовательное предположение, что индивидуальные предпочтения имеют максимальное значение.

Относительное неприятие риска

Существует несколько показателей неприятия риска, выраженных функцией полезности в теореме Эрроу Пратта. Абсолютное неприятие риска - чем выше кривизна u (c), тем выше неприятие риска. Однако, поскольку ожидаемые функции полезности не определены однозначно, необходима мера, остается постоянной по отношению к этим преобразованиям. Одна из таких мер является Эрроу-Pratt мера абсолютного неприятия риска (ARA), после того как экономисты Кеннет Эрроу и Джон У. Pratt определили коэффициент абсолютного неприятия риска, как

A (c) = - {u '' (c)}/ {u '(c)},

где: u '(c) и u '' (c) обозначают первую и вторую производные по отношению к "с" из "u (c)".

Экспериментальные и эмпирические данные в основном соответствуют снижению абсолютного неприятия риска. Мера относительного неприятия риска Эрроу Пратта (АСР) или коэффициента относительного неприятия риска определяется:

R (c) = cA (c) = {-cu '' (c)} /{u '(c) R (c).

Как и в случае абсолютного неприятия риска, используются соответствующие термины постоянное относительное неприятие риска (CRRA) и уменьшение / увеличение относительного неприятия риска (DRRA / IRRA). Преимущество этой величины состоит в том, что она все еще является действительной мерой неприятия риска, даже если функция полезности изменяется от склонности к риску, то есть полезность не является строго выпуклой / вогнутой по всем «c». Постоянный RRA подразумевает уменьшение ARA теории Эрроу Пратта, но обратное не всегда верно. В качестве конкретного примера неприятия постоянного относительного риска, функция полезности: u (c) = log (c), подразумевает RRA = 1.

Левый график: функция полезности, предотвращающая риск, является вогнутой снизу, а функция полезности, склонная к риску, является выпуклой. Средний график - в пространстве ожидаемых значений стандартного отклонения, кривые безразличия к риску имеют наклон вверх. Правый график - с фиксированными вероятностями двух альтернативных состояний 1 и 2 кривые безразличия, не склонные к риску, по парам результатов, зависящих от состояния, являются выпуклыми.

Номинальная избирательная система

Первоначально Эрроу отверг кардинальную полезность, как важный инструмент выражения социального благополучия, поэтому он сконцентрировал свои требования на ранжировании предпочтений, но позже пришел к выводу, что кардинальная рейтинговая система с тремя или четырьмя классами является вероятно, лучшей. Общественный выбор по теореме «О невозможности» предполагает, что индивидуальные и социальные предпочтения являются упорядоченными, то есть удовлетворенность полнотой и транзитивностью в различных альтернативах. Это означает, что, если предпочтения представлены функцией полезности, ее значение полезно в том смысле, что оно имеет смысл, поскольку более высокое значение означает лучшую альтернативу.

Практические приложения теоремы используется для оценки широких категорий систем голосования. Главный аргумент Эрроу утверждает, что системы голосования по порядку должны всегда нарушать, по крайней мере, один из критериев справедливости, которые он изложил. Практическим следствием этого является то, что системы голосования, которые не приведены в порядок, должны быть изучены. Например, рейтинговые системы голосования, где избиратели дают каждому кандидату баллы могут соответствовать всем критериям Эрроу.

На самом деле механизм голосования, рациональный коллективный выбор по Теореме Эрроу и последующий диалог, невероятно вводили в заблуждение в области избирательной. Часто студенты и неспециалисты считают, что ни одна система голосования не могут соответствовать критериям справедливости Эрроу, тогда как, на самом деле, рейтинговые системы способны соответствовать и удовлетворяют всем критериям Эрроу.

Источник