Часто в задачах школьного курса геометрии приходится решать задания, которые требуют использования комплексного подхода. Одной из таких задач является вычисление объема пирамиды по координатам вершин. Как решить эту геометрическую задачу - ответит приведенная ниже статья.
Что представляет собой пирамида?
Говоря простыми словами, под этой фигурой понимают пространственный объект, ограниченный треугольными сторонами и одной многоугольной гранью, которая называется основанием. Многоугольное основание может быть произвольным n-угольником на плоскости, например, правильным треугольником, параллелограммом и так далее.
Вам будет интересно:Федеральные университеты России: список, рейтинг, отзывы
Любая пирамида имеет n + 1 грань, 2 * n ребер и n + 1 вершину. Вершины фигуры не являются равноправными. Так, существует единственная вершина, которая не принадлежит основанию. Она называется главной. Расстояние от нее до плоскости основания - это высота фигуры.
Пирамиды могут быть наклонными, если высота пересекает основание не в его центре, или прямыми, когда высота с основанием пересекается в геометрическом центре последнего. Также фигуры могут быть неправильными и правильными. Пирамиды правильные состоят из равноугольного и равностороннего основания и нескольких равнобедренных треугольников, которые друг другу равны.
Как рассчитывается объем пирамиды?
Прежде чем приводить методику вычисления по координатам вершин объема пирамиды, следует привести формулу, при помощи которой можно рассчитать эту величину для фигуры любого типа из рассматриваемого класса. Итак, объем пирамиды рассчитывается так:
V = 1 / 3 * So * h.
Здесь So - это основания площадь, h - расстояние от главной вершины до основания, то есть высота пирамиды.
Таким образом, любая геометрическая задача на нахождение объема пирамиды сводится к расчету величин So и h.
Как найти объем пирамиды по координатам вершин: методика
Пирамида может быть представлена произвольным n-угольным основанием. Чтобы рассчитать его площадь, следует внимательно изучить условие задачи, в котором должно быть сказано, о каком типе n-угольника идет речь. Если это треугольник или параллелограмм, то расчет его площади по известным координатам очень прост: необходимо лишь найти векторное произведение соответствующих векторов сторон.
Вычислить высоту пирамиды также не представляет особого труда. Для этого следует из любых трех точек основания получить уравнение плоскости в общем виде, а затем нужно воспользоваться формулой расстояния между плоскостью и точкой (вершиной пирамиды). Формула имеет вид:
d = |(A * x1 + B * y1 + C * z1 + D)| / √(A2 + B2 + C2).
Здесь (x1; y1; z1) - координаты точки.
Уравнение плоскости имеет вид:
A * x + B * y + C * z + D = 0.
Задача с треугольной пирамидой
Решим задачу на примере самой простой пирамиды - треугольной. Условие простое: ниже даны координаты вершин пирамиды, объем найти нужно для фигуры, которая на этих координатах построена:
- A(1; 0; 3);
- B(0; 2; -1);
- C(3; 3; 1);
- D(4; 3; 4).
Положим, что основание пирамиды является треугольником ABC. Найдем длины векторов AB¯ и AC¯:
AB¯ = (-1; 2; -4);
AC¯ = (2; 3; -2).
Векторное произведение AB¯ и AC¯ даст нам, с одной стороны, двойную площадь треугольника, то есть 2 * So, а с другой стороны, мы получим координаты нормального к плоскости вектора n¯, имеем:
n¯ = [AB¯ * AC¯] = (8; -10; -7).
Площадь треугольного основания равна полудлине вектора n¯, то есть:
So = √(82 + 102 + 72) / 2 = 7,3.
Прежде чем рассчитывать расстояние от D до плоскости ABC, необходимо записать уравнение плоскости. Три его коэффициента (A, B, C) мы уже знаем, они соответствуют координатам нормали n¯. Свободный член можно получить, подставив в уравнение координаты любой точки плоскости, например точки A, имеем:
D = -1 * (A * x1 + B * y1 + C * z1) = -1 * (8 * 1 + (-10) * 0 + (-7) * 3) = 13.
Тогда уравнение плоскости основания пирамиды принимает форму:
8 * x - 10 * y - 7 * z + 13 = 0.
Теперь применяем приведенную выше формулу для расчета расстояния от точки D(4; 3; 4) до найденной плоскости, получаем:
d = |(8 * 4 - 10 * 3 - 7 * 4 + 13)| / √(82 + 102 + 72) = 0,89.
Поскольку найденное значение расстояния d соответствует высоте пирамиды треугольной h, то можно воспользоваться формулой для объема фигуры:
V = 1 / 3 * So * h = 1 / 3 * 7,3 * 0,89 ≈ 2,166.
Полученное значение объема выражено в кубических единицах выбранной координатной системы.
