Изучение свойств многогранников занимает важную часть школьного курса стереометрии. В данной статье рассмотрим два самых известных типа этих фигур: пирамиду и призму, и покажем, как найти объем многогранника, и какие формулы следует использовать.
Что такое многогранник?
Прежде чем давать ответ на вопрос о том, как найти объем многогранника, необходимо четко представлять, о чем идет речь. Определение многогранника является достаточно простым: под ним полагают фигуру в трехмерном пространстве, которая ограничена несколькими многоугольными гранями. Грани должны обязательно быть плоскими. Многогранники в зарубежной литературе часто называют полиэдрами.
Вам будет интересно:Экономические колледжи г. Москвы
Поскольку изучаемый класс объемных фигур состоит из многоугольников, то у него всегда имеются вершины и ребра, которые образованы пересечением трех или двух граней соответственно.
В данной статье подробно изучим два многогранника, которые встречаются чаще всего в задачах по геометрии и в форме которых изготавливаются многие бытовые предметы. Речь пойдет о призмах и пирамидах.
Фигура призма и определение ее объема
Под призмой понимают полиэдр, состоящий из двух одинаковых и параллельных n-угольников, соответствующие вершины которых соединены между собой. Боковая поверхность такой геометрической конструкции образована параллелограммами.
Существует много разных видов призм, например прямые и наклонные, вогнутые и выпуклые, треугольные и десятиугольные. Тем не менее ответ на вопрос о том, как найти объем многогранника-призмы, заключается во вполне конкретной формуле. Приведем ее:
V = So*h
Здесь символ So отражает площадь основания. Поскольку у любой призмы их два, и они оба равны, то для вычисления So можно выбрать любое из них. Проще всего рассчитать площадь простых либо правильных многоугольников. Например, для треугольника произвольного вида достаточно умножить половину стороны на опущенную на нее высоту, чтобы получить его площадь. Если многоугольник является правильным (стороны и углы равны между собой), тогда его площадь Sn будет равна:
Sn = n/4*ctg(pi/n)*a2
Где n - число углов или сторон многоугольника, a - длина его стороны.
Высотой призмы считается расстояние между ее основаниями. Для призмы прямой или правильной рассчитать эту величину не представляет никакого труда, поскольку она равна боковому ребру. Если же изучаемый многогранник будет неправильным и наклонным, тогда расчет высоты усложняется. Для его проведения в общем случае необходимо знать угловые параметры фигуры.
Правильная призма - это самый легкий в плане расчета объема вариант фигуры рассматриваемого класса. Объем правильного многогранника вычисляется по формуле:
V = n/4*ctg(pi/n)*a2*h
Здесь h может быть заменено на длину b бокового ребра.
Фигура пирамида и вычисление ее объема
Пирамида - это не только великое сооружение фараона Хеопса, но и вполне конкретный геометрический объект. Этот многогранник состоит из одного n-угольного основания и n треугольников. С помощью треугольников стороны основания соединяются с единственной точкой пространства, которая является вершиной пирамиды.
Как и призмы, класс пирамид включает в себя фигуры разного вида. Так, существуют наклонные и прямые пирамиды, правильные и неправильные, выпуклые и вогнутые. Тем не менее все это разнообразие может быть описано единственной формулой общего вида для их объема.
Чему равен объем многогранника, если речь идет о произвольной пирамиде. Ответом на этот вопрос будет следующее выражение:
V = 1/3*So*h
Эта формула также является простой, как и для призмы. Видим, что объем пирамиды в три раза меньше такового для призмы при прочих равных условиях (одинаковые So и h).
Для вычисления площади основания So следует придерживаться описанной в предыдущем пункте методики. Касательно высоты h отметим, что для ее расчета на практике часто приходится прибегать к использованию тригонометрических функций и теоремы Пифагора.
Когда рассматривают пирамиду правильную, то ее объем может быть рассчитан по такой формуле:
V = n/12*ctg(pi/n)*a2*h
Задача с шестиугольной призмой
Задана правильная шестиугольная призма. Объем многогранника этого необходимо вычислить, если известно, что длина стороны его шестиугольника составляет 6 см, а боковое ребро в два раза больше.
Поскольку призма является правильной, то можно сразу воспользоваться записанной выше формулой, имеем:
V = 6/4*ctg(pi/6)*a2*2*a = 3*√3*a3
При записи этого выражения мы использовали равенства n=6 и h=2*a. Подставив значение a=6 см, получаем ответ: V = 1122,37 см3.
Задача с четырехугольной пирамидой
Рассмотрев вопрос о том, как объем многогранника найти, решим теперь задачу несколько более сложную. Необходимо определить объем правильной пирамиды четырехугольной, если диагональ ее основания равна 13 см, а боковое ребро составляет 20 см.
Стратегия решения задачи заключается в вычислении длин a и h, а затем в их подстановке в известную формулу. Поскольку основание фигуры представляет собой квадрат, то сторона a из диагонали d определяется так:
a = d/√2 = 13/√2 = 9,19 см
Для определения высоты необходимо рассмотреть прямоугольный треугольник, стороны которого равны h, d/2 и b. Согласно теореме Пифагора, получаем:
h = √(b2 - d2/4) = √(202-132/4) = 18,91 см
Теперь можно воспользоваться формулой для V:
V = 4/12*ctg(pi/4)*a2*h = 1/3*9,192*18,91 = 532,35 см3
Таким образом, объем рассмотренной пирамиды равен 532,35 см3.
