Цилиндр - это одна из пространственных фигур, которая является объектом изучения стереометрии. Важная характеристика любой фигуры - это площадь ее поверхности. В данной статье рассмотрим, что собой представляет развертка цилиндра, а также покажем, как вычислить ее площадь.
Цилиндр как фигура геометрии
Предположим, что у нас имеется некоторая плавная кривая. Это может быть круг, эллипс, парабола и так далее. Возьмем отрезок произвольной длины, который не лежит в плоскости кривой, и опишем с помощью него поверхность, следуя направлению кривой и транслируя отрезок параллельно самому себе. Полученная поверхность называется цилиндрической или просто цилиндром. Отмеченная кривая называется директрисой (направляющей), а отрезок - генератрисой (образующей).
Вам будет интересно:Великие программисты и информатики мира
Если к цилиндрической поверхности добавить еще две плоские одинаковые фигуры, ограничивающие эту поверхность с торцов, то полученное тело также называется цилиндром. Оно состоит из двух равных оснований и цилиндрической поверхности.
Для наглядного представления описанной фигуры ниже приведен рисунок. На нем изображен эллиптический цилиндр, имеющий полуоси a и b и высоту h (дистанция между основаниями).
Круглый прямой цилиндр
Пусть директрисой будет окружность некоторого радиуса. Тогда образованная генератрисой фигура будет называться круглым цилиндром. Тем не менее генератриса относительно плоскости, ограниченной директрисой, может быть направлена произвольным образом. Поэтому в общем случае говорят о наклонном круглом цилиндре. Если же генератриса будет перпендикулярна плоскостям основания, то цилиндр называется прямым. Он показан на рисунке ниже.
Здесь AB = DC - радиус цилиндра, AD = BC = h - высота фигуры. Для прямого цилиндра высота всегда равна длине образующей. Отрезок AD обозначает ось цилиндра - прямая, соединяющая две центральные точки оснований. От оси цилиндра все точки боковой поверхности лежат на одном расстоянии, равном радиусу фигуры.
Далее в статье будем рассматривать развертку поверхности цилиндра, круглого и прямого.
Развертка круглого прямого цилиндра
Когда говорят о развертке цилиндра, то подразумевают общую площадь его поверхности, представленную плоскими фигурами. Круглый прямой цилиндр образован двумя кругами, имеющими одинаковые радиусы, и одной боковой поверхностью, которая эти круги соединяет друг с другом.
На рисунке показан бумажный цилиндр. Как осуществляется построение развертки цилиндра? Возьмем воображаемые ножницы и отрежем одно основание вдоль окружности. Затем проделаем аналогичные действия со вторым основанием. Боковую поверхность разрежем вдоль генератрисы, то есть параллельно оси фигуры, и развернем ее. Таким образом, мы получили развертку, которая показана на рисунке ниже.
Очевидно, что она состоит из двух одинаковых кругов. Что касается цилиндрической поверхности, то в разрезанном виде она представлена прямоугольником. Развертку удобно использовать при определении площади поверхности рассматриваемой фигуры.
Площадь развертки цилиндра
Выше мы показали, как можно получить развертку фигуры. Чтобы рассчитать ее площадь, необходимо сложить площади для всех ее частей, то есть для двух круглых оснований и одного прямоугольника.
Обозначим радиус основания буквой r, а высоту фигуры - буквой h. Площадь одного основания равна площади круга, то есть:
So = pi*r2
Здесь pi - число Пи, приблизительно равное 3,14.
Чтобы вычислить площадь прямоугольника, представляющего боковую поверхность фигуры в развернутом виде, необходимо знать две его стороны. Одна из них равна высоте h. Вторая, как можно догадаться, соответствует длине директрисы, то есть длине окружности. Обозначим ее l. Тогда можно записать следующие равенства:
l = 2*pi*r;
Sb = l*h = 2*pi*r*h
Здесь Sb - площадь прямоугольника, равная площади цилиндрической поверхности.
Учитывая, что фигура имеет два основания, складываем рассчитанные величины, получаем общую площадь развертки цилиндра:
S = 2*So + Sb = 2*pi*r2 + 2*pi*r*h = 2*pi*r*(r + h)
Площадь S фигуры однозначно определяется через ее радиус и высоту.
Покажем, как использовать это равенство для решения геометрической задачи.
Задача на нахождение радиуса фигуры
Известно, что общая поверхность круглого прямого цилиндра составляет 60 см2. Чему равен радиус основания цилиндра, если его высота равна 7 см, а фигура имеет лишь одно основание.
Описанный в условии задачи цилиндр представляет собой бочку без крышки, поэтому площадь его поверхности образована не двумя, а одним основанием.
Если учесть названный факт, тогда формула для площади фигуры запишется в следующем виде:
S = pi*r2 + 2*pi*r*h
Подставим все известные из условия величины в это равенство, получим:
60 = 3,14*r2 + 43,96*r =>
3,14*r2 + 43,96*r - 60 = 0
Мы получили классическое полное квадратное уравнение. Его решение даст искомое значение радиуса r. Решаем через дискриминант:
D = 43,962 - 4*3,14*(- 60) ≈ 2686,08;
r = (-43,96±√2686,08)/(2*3,14) = 1,25 см
При решении уравнения отрицательный корень был отброшен, в виду его нефизического значения.
Таким образом, параметры открытого цилиндра из условия задачи составляют 7 см в высоту и 2,5 см в диаметре.