Определение объемов геометрических тел является одной из важных задач пространственной геометрии. В данной статье рассматривается вопрос, что такое призма с шестиугольным основанием, а также приводится формула объема правильной шестиугольной призмы.
Определение призмы
С точки зрения геометрии призмой называется фигура в пространстве, которая образована двумя одинаковыми многоугольниками, расположенными в параллельных плоскостях. А также несколькими параллелограммами, которые эти многоугольники соединяют в единую фигуру.
Вам будет интересно:Физические изменения у подростков: юношей и девушек
В трехмерном пространстве призму произвольной формы можно получить, если взять любой многоугольник и отрезок. Причем последний плоскости многоугольника принадлежать не будет. Тогда, располагая этот отрезок от каждой вершины многоугольника, можно получить параллельный перенос последнего в другую плоскость. Образованная таким способом фигура будет призмой.
Чтобы иметь наглядное представление о рассматриваемом классе фигур, приведем рисунок четырехугольной призмы.
Вам будет интересно:Влияние звука на человека: описание, уровень, польза и вред
Многие знают эту фигуру под названием параллелепипеда. Видно, что два одинаковых многоугольника призмы представляют собой квадраты. Их называют основаниями фигуры. Остальные четыре ее стороны - прямоугольники, то есть это частный случай параллелограммов.
Шестиугольная призма: определение и виды
Прежде чем приводить формулу, как определяется объем шестиугольной правильной призмы, необходимо четко понять, о какой фигуре пойдет речь. Шестиугольная призма имеет в основаниях шестиугольник. То есть, плоский многоугольник с шестью сторонами, углов столько же. Боковые стороны фигуры так же, как и для любой призмы, в общем случае являются параллелограммами. Сразу отметим, что шестиугольное основание может быть представлено как правильным, так и неправильным шестиугольником.
Расстояние между основаниями фигуры - это ее высота. Далее мы будем обозначать ее буквой h. Геометрически высота h представляет собой отрезок, перпендикулярный обоим основаниям. Если этот перпендикуляр:
- опущен с геометрического центра одного из оснований;
- пересекает второе основание также в геометрическом центре.
Фигура в этом случае называется прямой. В любом другом случае призма будет косоугольной или наклонной. Разницу между этими видами шестиугольной призмы можно увидеть с первого взгляда.
Прямая шестиугольная призма - это фигура, имеющая в основании правильные шестиугольники. При этом она является прямой. Рассмотрим подробнее ее свойства.
Элементы правильной шестиугольной призмы
Чтобы понять, как вычислить объем правильной шестиугольной призмы (формула приведена ниже в статье), необходимо также разобраться, из каких элементов состоит фигура, а также какими свойствами она обладает. Чтобы было легче анализировать фигуру, покажем ее на рисунке.
Главными ее элементами являются грани, ребра и вершины. Количества этих элементов подчиняется теореме Эйлера. Если обозначить Р - число ребер, В - количество вершин и Г - граней, тогда можно записать равенство:
Р = Г + В - 2.
Проверим его. Число граней рассматриваемой фигуры равно 8. Две из них - это правильные шестиугольники. Шесть граней представляет собой прямоугольники, это видно из рисунка. Число вершин составляет 12. Действительно, 6 вершин принадлежат одному основанию, и 6 другому. Согласно формуле, число ребер должно равняться 18, что является справедливым. 12 ребер лежат в основаниях и 6 образуют параллельные друг другу стороны прямоугольников.
Переходя к получению формулы объема правильной шестиугольной призмы, следует остановить свое внимание на одном важном свойстве этой фигуры: прямоугольники, образующие боковую поверхность, равны между собой и перпендикулярны обоим основаниям. Это приводит к двум важным следствиям:
Площадь шестиугольника
Можно интуитивно догадаться, что эта площадь основания фигуры появится в формуле объема правильной призмы шестиугольной. Поэтому в данном пункте статьи найдем эту площадь. Правильный шестиугольник, разделенный на 6 одинаковых треугольников, вершины которых пересекаются в его геометрическом центре, показан ниже:
Каждый из этих треугольников является равносторонним. Доказать это не очень сложно. Поскольку вся окружность имеет 360o, то углы треугольников вблизи геометрического центра шестиугольника равны 360o/6=60o. Расстояния от геометрического центра до вершин шестиугольника являются одинаковыми.
Последнее означает, что все 6 треугольников будут равнобедренными. Поскольку один из углов равнобедренных треугольников равен 60o, значит, два остальных угла тоже равны по 60o. ((180o-60o)/2) - треугольники равносторонние.
Обозначим длину стороны шестиугольника буквой a. Тогда площадь одного треугольника будет равна:
S1 = 1/2*√3/2*a*a = √3/4*a2.
Формула получена на основании стандартного выражения для площади треугольника. Тогда площадь S6 для шестиугольника будет:
S6 = 6*S1 = 6*√3/4*a2 = 3*√3/2*a2.
Формула определения объема правильной шестиугольной призмы
Чтобы записать формулу для объема рассматриваемой фигуры, следует учесть приведенную выше информацию. Для произвольной призмы объем пространства, ограниченный ее гранями, вычисляется так:
V = h*So.
То есть, V равен произведению площади основания So на высоту h. Поскольку мы знаем, что высота h равна длине бокового ребра b для шестиугольной правильной призмы, а площадь ее основания соответствует S6, то формула объема правильной шестиугольной призмы примет вид:
V6 = 3*√3/2*a2*b.
Пример решения геометрической задачи
Дана шестиугольная правильная призма. Известно, что она вписана в цилиндр радиусом 10 см. Высота призмы в два раза больше стороны ее основания. Необходимо найти объем фигуры.
Чтобы найти требуемую величину, необходимо знать длину стороны и бокового ребра. При рассмотрении правильного шестиугольника было показано, что его геометрический центр расположен в середине описанной вокруг него окружности. Радиус последней равен расстоянию от центра до любой из вершин. То есть он равен длине стороны шестиугольника. Эти рассуждения приводят к следующим результатам:
a = r = 10 см;
b = h = 2*a = 20 см.
Подставляя эти данные в формулу объема правильной шестиугольной призмы, получим ответ: V6≈5196 см3 или около 5,2 литра.
