Статья
Развертка усеченного конуса. Формула площади и пример решения задачи
0

Развертка усеченного конуса. Формула площади и пример решения задачи

by admin03.12.2018

Каждый школьник слышал о фигуре конус. Его свойства и характеристики изучает стереометрия. Из этой фигуры можно получить ее усеченный вариант. В данной статье рассмотрим вопрос, что такое развертка усеченного конуса и как найти ее площадь.

Какую фигуру будем изучать?

Круглый прямой усеченный конус представляет собой два круга, имеющих разный диаметр, которые расположены в параллельных плоскостях. Окружности этих кругов соединены прямыми отрезками равной длины, именуемых образующими фигуры. Расстояние между круглыми основаниями называется высотой. Описанная фигура показана ниже на фото.

Усеченный круглый конус

Получить ее можно двумя принципиально отличающимися геометрическими способами. Во-первых, можно взять обычный круглый конус и параллельной его основанию плоскостью отсечь верхнюю часть. Такое действие приведет к образованию верхнего (малого) основания усеченного конуса. Во-вторых, можно взять трапецию с двумя прямыми углами и вращать ее вокруг стороны, ограниченной этими углами. Сторона трапеции, вокруг которой будет происходить вращение, называется осью фигуры. Две параллельные стороны трапеции опишут круглые основания во время вращения, а четвертая наклонная сторона образует боковую поверхность фигуры.

Получение усеченного конуса

Схема выше демонстрирует получение усеченного конуса с помощью сечения плоскостью.

Развертка усеченного конуса

Как мы видели, рассматриваемая фигура образована тремя поверхностями. Две из них представляют основания, а третья является боковой. Сумма площадей этих поверхностей является полной поверхностью усеченного конуса. В трехмерном пространстве ее площадь вычислять неудобно, поскольку сама величина является двумерной. В связи с этим при возникновении проблемы определения площади поверхности пространственных фигур, их принято представлять на плоскости.

В нашем случае развертку получить достаточно просто. Для этого следует мысленно отрезать по соответствующим окружностям основания от фигуры. Затем, необходимо разрезать вдоль образующей и раскрыть поверхность боковую. В итоге получится результат, показанный на фото.

Бумажная развертка усеченного конуса

Она представляет собой два разных круга и часть кругового сектора, у которого вырезан центр.

Формула площади поверхности фигуры

Для вычисления площади поверхности усеченного конуса необходимо определить эту величину для каждой части его развертки. Обозначим радиусы оснований буквами R и r. Тогда их площади будут равны:

So1 = pi*R2;

So2 = pi*r2.

Для вычисления площади боковой поверхности учтем, что ее развертка образована двумя одинаковыми генератрисами g и двумя дугами окружностей, которые имеют длину 2*pi*r и 2*pi*R. Опуская рассуждения и промежуточные математические формулы, приведем конечное выражение для площади этой части развертки фигуры. Оно имеет форму:

Sb = pi*g*(R + r).

Получив площади для оснований и боковой поверхности, можно записать формулу развертки конуса усеченного. Ее общая площадь S равна:

S = So1 + So2 + Sb = pi*(R2 + r2 + g*(R + r)).

Таким образом, площадь S фигуры однозначно определяется из знания радиусов ее оснований и длины генератрисы.

Геометрическая задача

Необходимо провести расчет развертки усеченного конуса, который имеет высоту 13 см и радиусы оснований 2 см и 7 см.

Решение данной задачи с помощью непосредственного применения формулы для S невозможно, поскольку не известна длина генератрисы g. Тем не менее, ее можно вычислить, используя такую формулу:

g = √(h2 + (R-r)2).

Это выражение можно самостоятельно получить, рассмотрев прямоугольный треугольник со сторонами g, h и (R-r), здесь h — высота усеченного конуса. Генератриса g будет равна 13,93 см (значение приведено с точностью до 0,01 см).

Осталось подставить значения генератрисы и радиусов в формулу для S, чтобы получить требуемый ответ:

S = 3,14*(72 + 22 + 13,93*(7 + 2)) ≈ 560,1 см2.

Следует не забывать, что записанная для S формула справедлива только для круглого прямого усеченного конуса.

Источник

About The Author
admin

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *