13-11-2018 01:15

Плоскость в пространстве. Расположение плоскостей в пространстве

Плоскость является геометрическим объектом, свойства которого используют при построении проекций точек и линий, а также при вычислении расстояний и двугранных углов между элементами объемных фигур. Рассмотрим в данной статье, с помощью каких уравнений можно изучать расположение в пространстве плоскостей.

Определение плоскости

Каждый интуитивно представляет, о каком объекте пойдет речь. С геометрической точки зрения плоскость - это совокупность точек, любые вектора между которыми должны быть перпендикулярны некоторому одному вектору. Например, если имеется m разных точек в пространстве, то из них можно составить m*(m-1)/2 разных векторов, соединяя точки попарно. Если все вектора будут перпендикулярны некоторому одному направлению, тогда это является достаточным условием того, что все точки m принадлежат одной плоскости.

Общее уравнение

Что значит "легок на помине" и какова история происхождения выражения?Вам будет интересно:Что значит "легок на помине" и какова история происхождения выражения?

В пространственной геометрии плоскость описывают с помощью уравнений, которые в общем случае содержат три неизвестные координаты, соответствующие осям x, y и z. Чтобы получить общее уравнение в координатах плоскости в пространстве, предположим, что имеется вектор n¯(A; B; C) и точка M(x0; y0; z0). Используя эти два объекта, можно однозначно определить плоскость.

Действительно, предположим, что имеется некоторая вторая точка P(x; y; z), координаты которой неизвестны. Согласно данному выше определению, вектор MP¯ должен быть перпендикулярен n¯, то есть произведение скалярное для них равно нулю. Тогда мы вправе записать следующее выражение:

(n¯*MP¯) = 0 или

A*(x-x0) + B*(y-y0) + C*(z-z0) = 0

Раскрывая скобки и вводя новый коэффициент D, получаем выражение:

A*x + B*y + C*z + D = 0, где D = -1*(A*x0 + B*y0 + C*z0)

Это выражение принято называть общим для плоскости уравнением. Важно запомнить, что коэффициенты, стоящие перед x, y и z, образуют координаты перпендикулярного к плоскости вектора n¯(A; B; C). Он совпадает с нормалью и является для плоскости направляющим. Для определения общего уравнения не имеет значения, куда направлен этот вектор. То есть построенные на векторах n¯ и -n¯ плоскости будут одинаковыми.

Нормаль к плоскости

На рисунке выше показаны плоскость, нормальный к ней вектор и перпендикулярная прямая к плоскости.

Отсекаемые плоскостью отрезки на осях и соответствующее уравнение

Общее уравнение позволяет с помощью простых математических операций определить, в каких точках плоскость будет пересекать координатные оси. Эту информацию важно знать, чтобы иметь представление о положении в пространстве плоскости, а также при изображении ее на чертежах.

Для определения названных точек пересечения применяют уравнение в отрезках. Оно так называется по причине того, что явно содержит значения длин отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат, при ведении отсчета от точки (0; 0; 0). Получим это уравнение.

Врасплох – это испуг или всего лишь беспокойство?Вам будет интересно:Врасплох – это испуг или всего лишь беспокойство?

Запишем общее выражение для плоскости в следующем виде:

A*x + B*y + C*z = -D

Левую и правую части можно разделить на -D, не нарушая равенства. Имеем:

A/(-D)*x + B/(-D)*y + C/(-D)*z = 1 или

x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C) = 1

Обозначим знаменатели каждого члена новым символом, получаем:

p = -D/A; q = -D/B; r = -D/C тогда

x/p + y/q + z/r = 1

Это и есть упомянутое выше в отрезках уравнение. Из него следует, что значение знаменателя каждого члена указывает координату пересечения с соответствующей осью плоскости. Например, ось y она пересекает в точке (0; q; 0). Это легко понять, если подставить нулевые координаты x и z в уравнение.

Заметим, что если в уравнении в отрезках не будет присутствовать какой-либо переменной, то это означает, что соответствующую ось плоскость не пересекает. Например, дано выражение:

x/p + y/q = 1

Это означает, что плоскость отсечет отрезки p и q на осях x и y соответственно, а вот оси z она будет параллельна.

Вывод о поведении плоскости при отсутствии в ее уравнении некоторой переменной справедлив также для выражения общего типа, что демонстрирует рисунок ниже.

Параллельная оси z плоскость

Уравнение параметрическое векторное

Существует третий вид уравнения, который позволяет описать в пространстве плоскости. Оно называется параметрическим векторным, поскольку задается двумя векторами, лежащими в плоскости, и двумя параметрами, которые могут принимать произвольные независимые значения. Покажем, как можно получить это уравнение.

Векторное задание плоскости

Предположим, что существует пара известных векторов u ¯(a1; b1; c1) и v¯(a2; b2; c2). Если они являются не параллельными, то с их помощью можно задать конкретную плоскость, если зафиксировать начало одного из этих векторов в известной точке M(x0; y0; z0). Если произвольный вектор MP¯ можно представить в виде комбинации линейной векторов u¯ и v¯, то это означает, что точка P(x; y; z) принадлежит той же плоскости, что и u¯, v¯. Таким образом, можно записать равенство:

MP¯ = α*u¯ + β*v¯

Или записывая это равенство через координаты, получим:

(x; y; z) = (x0; y0; z0) + α*(a1; b1; c1) + β*(a2; b2; c2)

Представленное равенство является уравнением параметрическим векторным для плоскости. В пространстве вектора на плоскости u¯ и v¯ называются образующими.

Далее при решении задачи будет показано, как это уравнение можно привести к общему виду для плоскости.

Два вектора и плоскость

Угол между плоскостями в пространстве

Интуитивно понятно, что плоскости в трехмерном пространстве могут либо пересекаться, либо нет. В первом случае представляет интерес найти угол между ними. Расчет этого угла выполнить сложнее, чем угла между прямыми, поскольку речь идет о двугранном геометрическом объекте. Однако на помощь приходит уже упомянутый вектор направляющий для плоскости.

Гиалуроновая кислота: формула, состав, свойства, влияние на организм и применениеВам будет интересно:Гиалуроновая кислота: формула, состав, свойства, влияние на организм и применение

Геометрически установлено, что двугранный угол между двумя пересекающимися плоскостями точно равен углу между их векторами направляющими. Обозначим эти вектора как n1¯(a1; b1; c1) и n2¯(a2; b2; c2). Косинус угла между ними определяется из скалярного произведения. То есть сам угол в пространстве между плоскостями можно рассчитать по формуле:

φ = arccos(|(n1¯*n2¯)|/(|n1¯|*|n2¯|))

Здесь модуль в знаменателе используется, чтобы отбросить значение тупого угла (между пересекающимися плоскостями он всегда меньше или равен 90o).

В координатной форме это выражение можно переписать следующим образом:

φ = arccos(|a1*a2 + b1*b2 + c1*c2|/(√(a12 + b12 + c12)*√(a22 + b22 + c22)))

Плоскости перпендикулярные и параллельные

Если плоскости пересекаются, и образованный ими двугранный угол равен 90o, то они будут перпендикулярными. Примером таких плоскостей можно назвать прямоугольную призму или куб. Эти фигуры образованы шестью плоскостями. В каждой вершине названных фигур встречаются три плоскости, перпендикулярные друг другу.

Прямоугольный параллелепипед

Чтобы выяснить, являются ли рассматриваемые плоскости перпендикулярными, достаточно рассчитать скалярное произведение их нормальных векторов. Достаточным условием перпендикулярности в пространстве плоскостей является нулевое значение этого произведения.

Параллельными называются непересекающиеся плоскости. Иногда также говорят, что параллельные плоскости пересекаются в бесконечности. Условие параллельности в пространстве плоскостей совпадает с таковым условием для направляющих векторов n1¯ и n2¯. Проверить его можно двумя способами:

  • Вычислить косинус двугранного угла (cos(φ)), используя произведение скалярное. Если плоскости параллельны, то получится значение 1.
  • Попытаться представить один вектор через другой с помощью умножения на некоторое число, то есть n1¯ = k*n2¯. Если это удастся сделать, тогда соответствующие плоскости являются параллельными.
  • Параллельные плоскости

    На рисунке показаны две параллельных плоскости.

    Теперь приведем примеры решения двух интересных задач, используя полученные математические знания.

    Как из векторного уравнения получить общий вид?

    Речь идет о параметрическом векторном выражении для плоскости. Чтобы легче было понять ход операций и используемые математические приемы, рассмотрим конкретный пример:

    (x; y; z) = (1; 2; 0) + α*(2; -1; 1 ) + β*(0; 1; 3 )

    Раскроем это выражения и выразим неизвестные параметры:

    x = 1 + 2*α;

    y = 2 - α + β;

    z = α + 3*β

    Тогда:

    α = (x - 1)/2;

    β = y - 2 + (x - 1)/2;

    z = (x - 1)/2 + 3*(y - 2 + (x - 1)/2)

    Раскрывая скобки в последнем выражении, получаем:

    z = 2*x-2 + 3*y - 6 или

    2*x + 3*y - z - 8 = 0

    Мы получили общий вид уравнения для плоскости, заданной в условии задачи в векторной форме

    Как построить плоскость через три точки?

    Три точки и плоскость

    Провести через три точки единственную плоскость возможно, если эти точки не принадлежат некоторой одной прямой. Алгоритм решения этой задачи заключается в следующей последовательности действий:

    • найти координаты двух векторов, соединив попарно известные точки;
    • вычислить их векторное произведение и получить нормальный к плоскости вектор;
    • написать общее уравнение, используя найденный вектор и любую из трех точек.

    Приведем конкретный пример. Даны точки:

    R(1; 2; 0), P(0; -3; 4), Q(1; -2; 2)

    Координаты двух векторов равны:

    RP¯(-1; -5; 4), PQ¯(1; 1; -2)

    Их векторное произведение будет равно:

    n¯ = [RP¯*PQ¯] = (6; 2; 4)

    Взяв координаты точки R, получаем искомое уравнение:

    6*x + 2*y + 4*z -10 = 0 или

    3*x + y + 2*z -5 = 0

    Рекомендуется проверять правильность результата путем подстановки координат оставшихся двух точек в это выражение:

    для P: 3*0 + (-3) + 2*4 -5 = 0;

    для Q: 3*1 + (-2) + 2*2 -5 = 0

    Отметим, что можно было не находить векторное произведение, а сразу записать для плоскости уравнение в параметрическом векторном виде.



    Источник