При изучении стереометрии одной из главных тем становится «Цилиндр». Площадь боковой поверхности считается если не главной, то немаловажной формулой при решении геометрических задач. Однако важно помнить и определения, которые помогут сориентироваться в примерах и при доказательстве различных теорем.
Понятие цилиндра
Вначале нужно рассмотреть несколько определений. Только после их изучения можно приступать к рассмотрению вопроса о формуле площади боковой поверхности цилиндра. На основе этой записи можно вычислить и иные выражения.
- Под цилиндрической поверхностью понимают плоскость, описываемую образующей, движущейся и остающейся параллельной заданному направлению, скользящей по имеющейся кривой.
- Имеется и второе определение: цилиндрическую поверхность образуют множество параллельных прямых, пересекающих заданную кривую.
- Образующей называют условно высоту цилиндра. При ее перемещении вокруг оси, проходящей через центр основания, получается обозначенное геометрическое тело.
- Под осью подразумевают прямую, проходящую через оба основания фигуры.
- Цилиндром называется стереометрическое тело, ограниченное пересекающимися боковой поверхностью и 2 параллельными плоскостями.
Вам будет интересно:Возможность оценить себя, или Что значит потупить взгляд
Существуют разновидности данной объемной фигуры:
Условные обозначения
Традиционно основные «компоненты» цилиндра принято называть следующим образом:
- Радиус основания – R (он же заменяет аналогичную величину стереометрической фигуры).
- Образующая – L.
- Высота – H.
- Площадь основания – Sосн (иначе говоря, необходимо найти указанный параметр круга).
- Высоты скошенного цилиндра – h1,h2 (минимальная и максимальная).
- Площадь боковой поверхности – Sбок (если ее развернуть, то получится своего рода прямоугольник).
- Объем стереометрической фигуры – V.
- Площадь полной поверхности – S.
«Компоненты» стереометрической фигуры
Когда изучается цилиндр, площадь боковой поверхности играет немаловажную роль. Связано это с тем, что данная формула входит в несколько других, более сложных. Поэтому необходимо быть хорошо подкованным в теории.
Основными составляющими фигуры являются:
Основные формулы для работы с цилиндром
Для того чтобы ответить на вопрос, как найти площадь поверхности цилиндра, необходимо изучить основные «компоненты» стереометрической фигуры и формулы их нахождения.
Данные формулы отличаются тем, что вначале даются выражения для скошенного цилиндра, а затем – для прямого.
Примеры с разобранным решением
Задача 1.
Необходимо узнать площадь боковой поверхности цилиндра. Дана диагональ сечения AC = 8 см (причем оно является осевым). При соприкосновении с образующей получается Решение. Поскольку известны величины диагонали и угла, то в таком случае: Комментарий. Треугольник ACD, в конкретном примере, прямоугольный. Это означает, что частное от деления CD и AC = косинусу имеющегося угла. Значение тригонометрических функций можно найти в специальной таблице. Аналогично, можно найти и значение AD: Теперь необходимо вычислить по следующей формулировке нужный результат: площадь боковой поверхности цилиндра равна удвоенному результату перемножения «пи», радиуса фигуры и ее высоты. Следует воспользоваться и другой формулой: площадью основания цилиндра. Она равняется результату перемножения «пи» на квадрат радиуса. И наконец, последняя формула: общая площадь поверхности. Она равна сумме предыдущих двух площадей. Задача 2. Даны цилиндры. Их объем = 128*п см³. У какого из цилиндров наименьшая полная поверхность? Решение. Для начала нужно воспользоваться формулами нахождения объема фигуры и ее высоты. Поскольку площадь полной поверхности цилиндра известна из теории, необходимо применить ее формулу. Если рассматривать полученную формулу в качестве функции площади цилиндра, то минимальный «показатель» будет достигнут в точке экстремума. Для получения последнего значения необходимо воспользоваться дифференцированием. Формулы можно посмотреть в специальной таблице по нахождению производных. В дальнейшем найденный результат приравнивается к нулю и находится решение уравнения. Ответ: Smin будет достигнута при h = 1/32 см, R = 64 см. Задача 3. Дана стереометрическая фигура – цилиндр и сечение. Последнее проведено таким образом, что располагается параллельно оси стереометрического тела. У цилиндра следующие параметры: ВК = 17 см, h = 15 см, R = 5 см. Необходимо найти расстояние между сечением и осью. Решение. Поскольку под сечением цилиндра понимается ВСКМ, т. е. прямоугольник, то его сторона ВМ = h. Необходимо рассмотреть ВМК. Треугольник является прямоугольным. Исходя из этого утверждения, можно вывести верное предположение, что МК = ВС. ВК² = ВМ² + МК² МК² = ВК² – ВМ² МК² = 17² – 15² МК² = 64 МК = 8 Отсюда можно сделать вывод, что МК = ВС = 8 см. Следующий шаг – проведение сечения через основание фигуры. Необходимо рассмотреть получившуюся плоскость. AD – диаметр стереометрической фигуры. Он параллелен сечению, упомянутому в условии задачи. BC – прямая, расположенная на плоскости имеющегося прямоугольника. ABCD – трапеция. В конкретном случае она считается равнобедренной, поскольку вокруг нее описана окружность. Если найти высоту полученной трапеции, то можно получить ответ, поставленный в начале задачи. А именно: нахождение расстояния между осью и проведенным сечением. Для этого необходимо найти величины AD и ОС. Ответ: сечение располагается 3 см от оси. Пример 1. Дан цилиндр. Площадь боковой поверхности используется в дальнейшем решении. Известны другие параметры. Площадь основания – Q, площадь осевого сечения – М. Необходимо найти S. Иными словами, полную площадь цилиндра. Пример 2. Дан цилиндр. Площадь боковой поверхности необходимо найти в одном из шагов решения задачи. Известно, что высота = 4 см, радиус = 2 см. Необходимо найти полную площадь стереометрической фигуры.
Задачи на закрепление материала