Статья
Боковая поверхность конуса: площадь как найти?
0

Боковая поверхность конуса: площадь как найти?

by admin30.11.2018

Каждая объемная фигура, которая имеет конечные линейные размеры, обладает в пространстве некоторой площадью поверхности. В статье рассмотрим, чему равна площадь боковой поверхности конуса, приведем соответствующие формулы и покажем, откуда они выводятся.

Что такое конус?

В общем случае конусом в геометрии называют любую пространственную фигуру, которая образована в результате соединения фиксированной точки пространства со всеми точками некоторой плоской кривой. Фиксированная точка называется вершиной фигуры. Отрезки, соединяющие ее с кривой, получили название генератрис, или образующих, поскольку их совокупность образует коническую поверхность. Кривая, на которую опирается эта поверхность, называется директрисой, то есть направляющей. Директрисой может быть произвольная кривая, например, гипербола, окружность, парабола, эллипс и так далее. Образованный на них конус будет гиперболическим, круглым, параболическим и эллиптическим, соответственно.

Эллиптические конусы

Выше рисунок демонстрирует пример двух одинаковых эллиптических конусов, обращенных друг к другу своими вершинами.

Круглый конус

Площадь боковой поверхности конуса будем рассматривать на примере круглой прямой фигуры. Такой конус представляет собой круглое основание, на которое опирается коническая поверхность. Эта фигура показана ниже.

Прямой круглый конус

Все генератрисы этой фигуры равны между собой. Их длина всегда больше радиуса основания. Расстояние от вершины конуса до его круглого основания называется высотой. Высота пересекает круг в его центре, поэтому конус называется прямым.

Получить этот конус не представляет никакой сложности. Для этого следует взять любой треугольник, имеющий прямой угол, и вращать его вокруг одного из катетов так, как показано ниже на схеме.

Конус - фигура вращения треугольника

Если обозначить гипотенузу этого треугольника буквой g, а его катеты h и r, тогда будет справедливо равенство:

g2 = h2 + r2.

Для полученного конуса g — это генератриса, h — высота, r — радиус круга.

Чему равна боковая поверхность конуса с круглым основанием?

Ответить на этот вопрос проще всего, если разрезать коническую поверхность вдоль одной из генератрис и развернуть ее на плоскости. Получившаяся фигура называется разверткой боковой поверхности. Она показана на главном фото к статье, где также приводится круг — основание фигуры.

Эта развертка показывает, что площадь боковой поверхности конуса равна площади соответствующего кругового сектора. Он ограничен двумя генератрисами g, которые представляют радиус полного круга, и дугой. Длина последней точно равна длине окружности основания. Получим формулу для площади этого сектора.

Сначала определим угол в радианах, соответствующий дуге сектора. Его можно найти с использованием следующей пропорции:

2*pi ==> 2*pi*g;

x ==> 2*pi*r.

Здесь 2*pi*g — это длина всей окружности, ограничивающей рассматриваемый сектор, 2*pi*r — это длина дуги сектора. Угол в радианах x сектора будет равен:

x = 2*pi*r*2*pi/(2*pi*g) = 2*pi*r/g.

Для определения площади рассматриваемого сектора, следует воспользоваться пропорцией через соответствующие площади. Имеем:

2*pi ==> pi*g2;

2*pi*r/g ==> Sb.

Здесь pi*g2 является площадью круга, построенного с помощью образующей g, Sb — площадь боковой поверхности конуса, равная площади рассматриваемого кругового сектора. Результатом решения пропорции будет конечная формула для Sb:

Sb = pi*g2*2*pi*r/g/(2*pi) = pi*r*g.

Таким образом, чтобы найти площадь конической поверхности, достаточно умножить радиус фигуры на ее директрису и на число пи.

При получении конечной формулы для Sb через пропорции использовалось свойство равенства угла полной окружности числу 2*pi радиан.

Понятие о конусе усеченном

Пусть имеется круглый прямой конус. Возьмем плоскость и отсечем от этой фигуры верхнюю часть таким образом, чтобы секущая плоскость прошла параллельно основанию конуса. Оставшаяся под плоскостью фигура называется прямым усеченным конусом с параллельными основаниями. Он показан на рисунке ниже.

Усеченный конус

В отличие от исходной фигуры, усеченный конус образован тремя поверхностями:

  • малое круглое основание;
  • большое круглое основание;
  • часть конической поверхности.

Последняя в списке является боковой поверхностью для рассматриваемой фигуры.

Для усеченной фигуры справедливы те же понятия, что для полного конуса. Так, расстояние между его основаниями — это высота h, каждое основание имеет свой радиус (r1 и r2). Часть генератрисы исходного конуса теперь является генератрисой конуса усеченного. Обозначим ее буквой l.

Между отмеченными линейными параметрами существует следующая связь:

l2 = h2 + (r1-r2)2.

Боковая поверхность усеченной фигуры

Выше было сказано, что представляет собой боковая поверхность для конуса усеченного. Разрезая ее вдоль одной из генератрис, получим следующий результат.

Развертка усеченного конуса

Два круга представляют собой основания. Четырехугольная фигура, ограниченная двумя прямыми отрезками и двумя дугами — это искомая боковая поверхность усеченного конуса, площадь которой необходимо найти. Решим эту задачу.

Заметим, что эта поверхность представляет собой сектор круга, у которого вырезана центральная часть. Обозначим радиус внешней дуги как g. Тогда радиус внутренней дуги будет равен g — l. Используя результаты решения предыдущей пропорции при определении угла сектора x, можно записать следующее равенство:

x = 2*pi*r1/g = 2*pi*r2/(g-l) =>

g = l*r1/(r1-r2).

Искомая площадь Sb равна разнице площадей секторов, построенных с помощью радиусов g и g-l. Используя формулу для площади сектора, полученную выше, можно записать:

Sb = pi*g*r1 — pi*(g-l)*r2.

Подставляя в это выражение формулу для g, получаем конечное равенство для площади боковой поверхности конуса усеченного:

Sb = pi*l*(r1+r2).

Задача на определение площади конической поверхности

Решим простую задачу. Необходимо найти площадь боковой поверхности конуса, если известно, что его высота h равна диаметру основания, а генератриса составляет 15 см.

Запишем соответствующую формулу для Sb, из которой будет видно, какие величины следует рассчитать. Имеем:

Sb = pi*r*g.

Значение генератрисы g известно из условия задачи. Остается определить радиус фигуры.

Генератриса, высота и радиус связаны друг с другом следующим равенством:

g2 = h2 + r2.

Из условия следует, что 2*r = h. Подставляя значение h в выражение, получим:

g2 = (2*r)2 + r2 = 5*r2 =>

r = g/√5.

Теперь формулу для радиуса основания подставляем в выражение для Sb, получаем:

Sb = pi/√5*g2.

Мы получили конечную формулу, из которой видно, что площадь искомой поверхности зависит только от длины генератрисы. Подставляя g = 15 см, получаем ответ на задачу: Sb ≈ 315,96 см2.

Источник

About The Author
admin

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *