Статья
Что это — усеченный конус? Способы получения. Линейные параметры фигуры. Формулы для объема и площади поверхности
0

Что это — усеченный конус? Способы получения. Линейные параметры фигуры. Формулы для объема и площади поверхности

by admin01.12.2018

Рассмотрение свойств объемных фигур является одной из приоритетных задач геометрии. Важными характеристиками всех пространственных фигур являются объем и площадь поверхности. В статье раскрывается вопрос о том, что это — усеченный конус, и приводятся формулы для определения площади его поверхности и объема.

Фигура конус

Прежде чем отвечать на вопрос о том, что это — усеченный конус, необходимо познакомиться с фигурой, от которой он образован. Конусом в геометрии принято называть фигуру, получаемую с помощью соединения прямыми отрезками некоторой точки пространства со всеми точками заданной кривой. Точка пространства не должна лежать в плоскости кривой, она называется вершиной конуса. Соединяющие отрезки — это образующие фигуры, а плоская кривая — это направляющая. Она ограничивает основание конуса. В свою очередь, совокупность всех образующих называется конической поверхностью. Конус, основанием которого является круг, показан на рисунке.

Круглый прямой конус

Расстояние между вершиной фигуры и основанием называется высотой. Если соответствующий перпендикуляр пересекает основание в геометрическом центре, то фигуру называют прямой.

Дальше в статье покажем, как, используя прямой круглый конус, получить усеченную фигуру.

Усеченный конус и способы его получения

Предположим, что у нас имеется фигура, которая была показана в предыдущем пункте. Возьмем плоскость, параллельную основанию конуса, и отсечем с помощью нее вершину фигуры. Этот процесс показан на рисунке.

Секущая конус плоскость

Образованная над плоскостью фигура является конусом, а вот фигура под плоскостью — это конус усеченный.

Существует еще один способ получения рассматриваемой фигуры. Предположим, что имеется некоторая трапеция с двумя прямыми углами. Если вращать эту трапецию вокруг стороны, к которой прямые углы прилегают, то она опишет поверхность усеченного конуса. Этот способ получения фигуры демонстрирует схема ниже.

Усеченный конус - фигура вращения

Сторона трапеции, вокруг которой выполнялось вращение, будет являться осью усеченного конуса. Отрезок, который на оси отсекают два основания фигуры, называется высотой. На рисунке отмечены образующая g и радиусы оснований конуса усеченного r и r’.

Наконец, третий способ получения усеченного конуса заключается в увеличении количества ребер усеченной пирамиды до бесконечного числа. Во время этого процесса пирамида постепенно перейдет в конус.

Любопытно отметить, что форма рассматриваемой геометрической фигуры в первом приближении в природе характерна для действующего вулкана, что отчетливо видно на следующей фотографии.

Форма усеченного конуса

Элементы фигуры и ее линейные характеристики

Усеченный конус — это пространственная фигура, состоящая из трех поверхностей. Две из них представляют собой круглые основания (верхнее и нижнее) и одна — боковую поверхность. В отличие от многогранников, рассматриваемая фигура не имеет вершин и граней.

Важными параметрами конуса усеченного являются радиусы каждого из оснований. Будем больший радиус обозначать r1, меньший — r2. Помимо радиусов фигуры, для ее однозначного определения необходимо знать либо высоту h, либо образующую g. Указанные параметры связаны математически следующим равенством:

g2 = h2 + (r1 — r2)2

Все четыре параметра используются для определения площади поверхности и объема.

Поверхность усеченного конуса

Как отмечалось, состоит поверхность фигуры из трех частей. Если отрезать каждое из оснований от фигуры, а затем вдоль образующей разрезать и развернуть боковую поверхность, то мы получим развертку усеченного конуса. Рисунок ниже показывает, как она выглядит.

Развертка усеченного конуса

Площади оснований усеченного конуса находятся по простой формуле для соответствующей величины круга:

So1 = pi × r12;

So2 = pi × r22

С площадью боковой поверхности дело обстоит несколько сложнее. Можно заметить, что она представляет собой сектор круга, некоего радиуса G, у которого вырезали центральную часть радиусом G-g. Если это учесть, то можно получить формулу для площади боковой поверхности Sb. Здесь ограничимся лишь приведением конечного выражения:

Sb = pi × (r1 + r2) × g

Это выражение можно записать через радиусы и высоту h, однако тогда оно будет иметь несколько громоздкий вид.

Складывая записанные выражения, получаем формулу для определения площади S всей поверхности усеченного конуса:

S = So1 + So2 + Sb = pi × r12 + pi × r22 + pi × (r1 + r2) × g =

= pi × (r12 + r22 + (r1 + r2) × g)

Объем фигуры

Как и любая фигура в пространстве, усеченный конус тоже обладает некоторым объемом. Этот объем ограничен двумя основаниями и боковой поверхностью. Здесь не будем приводить подробный вывод соответствующей формулы для V. Запишем, как и в случае с площадью поверхности, лишь конечный результат:

V = h × pi / 3 × (r12 + r22 + r1 × r2)

Эта формула, в отличие от выражения для площади S, в качестве параметров содержит радиусы усеченного конуса и его высоту.

Далее в статье покажем, как следует использовать приведенные формулы для решения конкретной геометрической задачи.

Задача на определение площади и объема усеченного конуса

Ниже на рисунке изображен усеченный конус и приведены его линейные параметры. Необходимой найти площадь поверхности и объем фигуры.

Усеченный конус

Начнем решать задачу с определения величины V. Ее вычисление не представляет никакого труда, поскольку известны все необходимые параметры. Подставляя их в формулу для V, получаем:

V = h × pi / 3 × (r12 + r22 + r1 × r2) =

= 10 × 3,14 / 3 × (82 + 12 + 8 × 1) ≈ 764,07 см3

Найденное значение соответствует 0,76 литра.

Чтобы найти площадь поверхности S, следует сначала вычислить длину образующей g фигуры. Она будет равна:

g = √(h2 + (r1 — r2)2) = √(102 + (8 — 1)2) ≈ 12,21 см

Значение образующей g мы округлили до сотых. Теперь можно воспользоваться формулой для площади S:

S = pi × (r12 + r22 + (r1 + r2) × g) = 3,14 × (82 + 12 + (8 + 1) × 12,21) ≈ 549,15 см2

Заметим, что формулы для V и S, которые мы использовали при решении задачи, справедливы только для круглого прямого усеченного конуса. В случае наклонной фигуры или же фигуры с некруглыми основаниями этими формулами пользоваться нельзя.

Источник

About The Author
admin

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *