В математике существует понятие "множество", так же как и существуют примеры сопоставления этих самых множеств между собой. Названиями видов сопоставления множеств выступают следующие слова: биекция, инъекция, сюръекция. Ниже о каждом из них рассказано подробнее.
Биекция - это... это что?
Одна группа элементов первого множества сопоставляется со второй группой элементов из второго множества в таком виде: каждый один элемент первой группы напрямую сопоставляется с другим одним элементом из второй группы, и при этом не возникает ситуации с нехваткой или перебором элементов какой-либо из двух групп множеств.
Вам будет интересно:Мародер - это... Значение и происхождение слова
Формулировка основных свойств:
Биекция с научной стороны
Вам будет интересно:Дешевое заведение - это харчевня
Биективные функции - именно изоморфизмы в категории "набор и набор функций". Однако биекции не всегда изоморфизмы для более сложных категорий. Например, в определенной категории групп морфизмы должны быть гомоморфизмами, поскольку они должны сохранять структуру группы. Поэтому изоморфизмы являются групповыми, которые являются биективными гомоморфизмами.
Понятие "взаимно-однозначное соответствие" обобщается на частичные функции, где их называют частичными биекциями, хотя частичная биекция – это то, что должно быть инъекцией. Причина этой релаксации заключается в том, что частичная (правильная) функция уже не определена для части своей области. Таким образом, нет веских оснований ограничивать ее обратную функцию полной, т. е. определенной повсюду в ее области. Множество всех частичных биекций на данный базовый набор называется симметрической инверсной полугруппой.
Другой способ определения одного и того же понятия: стоит сказать, что частичная биекция множеств из A в B - это любое отношение R (частичная функция) с тем свойством, что R - это графа биекции f:А'→B', где А' является подмножеством A, и B' является подмножеством В.
Когда частичная биекция находится на одном и том же множестве, ее иногда называют частичным преобразованием "один к одному". Примером является преобразование Мебиуса, просто определенное на комплексной плоскости, а не его завершение в расширенную комплексную плоскость.
Инъекция
Одна группа элементов первого множества сопоставляется со второй группой элементов из второго множества в таком виде: каждый один элемент первой группы сопоставляется с другим одним элементом второй, но не все из них преобразуются в пары. Количество неспаренных элементов зависит от разности числа этих самых элементов в каждом из множеств: если одно множество состоит из тридцати одного элемента, а в другом на семь больше, то количество неспаренных элементов - семь. Направлена инъекция во множество. Биекция и инъекция схожи между собой, но не более чем просто схожи.
Сюръекция
Одна группа элементов первого множества сопоставляется со второй группой элементов из второго множества в таком виде: каждый элемент какой-либо группы образует пару, даже при условии существования разницы между количеством элементов. Из этого следует, что один элемент из одной группы может создать пару с несколькими элементами из другой группы.
Ни биективная, ни инъективная, ни сюръективная функция
Это функция биективного и сюръективного вида, но с остаточным элементом (неспаренным) => инъекция. В такой функции явно присутствует связь между биекцией и сюръекцией, так как она непосредственно включает в себя данные два вида сопоставления множеств. Так вот, совокупность всех видов данных функций не является ни одним из них в отдельности.
Объяснение всех видов функций
Например, наблюдатель увлечен следующим. Проходят соревнования по стрельбе из лука. Каждый из участников желает попасть в мишень (в целях облегчения задачи: то, куда именно попадает стрела, не учитывается). Всего трое участников и три мишени - это первая площадка (участок) для проведения турнира. На последующих участках сохраняется количество лучников, но изменяется число мишеней: на втором - четыре мишени, на следующем - тоже четыре, а на четвертом - пять. Каждый участник стреляет по каждой мишени.
Теперь построить биекцию, инъекцию или сюръекцию не станет проблемой, так же как и найти отличия между ними.