Статья
Биекция — это… Определение понятия, характеристика
0

Биекция — это… Определение понятия, характеристика

by admin02.11.2018

В математике существует понятие «множество», так же как и существуют примеры сопоставления этих самых множеств между собой. Названиями видов сопоставления множеств выступают следующие слова: биекция, инъекция, сюръекция. Ниже о каждом из них рассказано подробнее.

Биекция множеств

Биекция — это… это что?

Одна группа элементов первого множества сопоставляется со второй группой элементов из второго множества в таком виде: каждый один элемент первой группы напрямую сопоставляется с другим одним элементом из второй группы, и при этом не возникает ситуации с нехваткой или перебором элементов какой-либо из двух групп множеств.

Биекция, способ сопоставления элементов множества

Формулировка основных свойств:

  • Один элемент к одному.
  • Не остается лишних элементов при сопоставлении и сохраняется первое свойство.
  • Возможно обратное отображение сопоставления с сохранением общего вида.
  • Биекция — это такая функция, что является одновременно инъективной и сюръективной.
  • Биекция с научной стороны

    биекция это

    Биективные функции — именно изоморфизмы в категории «набор и набор функций». Однако биекции не всегда изоморфизмы для более сложных категорий. Например, в определенной категории групп морфизмы должны быть гомоморфизмами, поскольку они должны сохранять структуру группы. Поэтому изоморфизмы являются групповыми, которые являются биективными гомоморфизмами.

    Понятие «взаимно-однозначное соответствие» обобщается на частичные функции, где их называют частичными биекциями, хотя частичная биекция – это то, что должно быть инъекцией. Причина этой релаксации заключается в том, что частичная (правильная) функция уже не определена для части своей области. Таким образом, нет веских оснований ограничивать ее обратную функцию полной, т. е. определенной повсюду в ее области. Множество всех частичных биекций на данный базовый набор называется симметрической инверсной полугруппой.

    Другой способ определения одного и того же понятия: стоит сказать, что частичная биекция множеств из A в B — это любое отношение R (частичная функция) с тем свойством, что R — это графа биекции f:А’→B’, где А’ является подмножеством A, и B’ является подмножеством В.

    Когда частичная биекция находится на одном и том же множестве, ее иногда называют частичным преобразованием «один к одному». Примером является преобразование Мебиуса, просто определенное на комплексной плоскости, а не его завершение в расширенную комплексную плоскость.

    Инъекция

    способ сопоставления элементов множества

    Одна группа элементов первого множества сопоставляется со второй группой элементов из второго множества в таком виде: каждый один элемент первой группы сопоставляется с другим одним элементом второй, но не все из них преобразуются в пары. Количество неспаренных элементов зависит от разности числа этих самых элементов в каждом из множеств: если одно множество состоит из тридцати одного элемента, а в другом на семь больше, то количество неспаренных элементов — семь. Направлена инъекция во множество. Биекция и инъекция схожи между собой, но не более чем просто схожи.

    Сюръекция

    Сюръекция, способ сопоставления элементов

    Одна группа элементов первого множества сопоставляется со второй группой элементов из второго множества в таком виде: каждый элемент какой-либо группы образует пару, даже при условии существования разницы между количеством элементов. Из этого следует, что один элемент из одной группы может создать пару с несколькими элементами из другой группы.

    Ни биективная, ни инъективная, ни сюръективная функция

    Это функция биективного и сюръективного вида, но с остаточным элементом (неспаренным) => инъекция. В такой функции явно присутствует связь между биекцией и сюръекцией, так как она непосредственно включает в себя данные два вида сопоставления множеств. Так вот, совокупность всех видов данных функций не является ни одним из них в отдельности.

    Объяснение всех видов функций

    Например, наблюдатель увлечен следующим. Проходят соревнования по стрельбе из лука. Каждый из участников желает попасть в мишень (в целях облегчения задачи: то, куда именно попадает стрела, не учитывается). Всего трое участников и три мишени — это первая площадка (участок) для проведения турнира. На последующих участках сохраняется количество лучников, но изменяется число мишеней: на втором — четыре мишени, на следующем — тоже четыре, а на четвертом — пять. Каждый участник стреляет по каждой мишени.

  • Первая площадка для проведения турнира. Первый лучник попадает только в одну мишень. Второй попадает только в одну мишень. Третий повторяет за другими, и все лучники попали в разные мишени: те, которые располагаются напротив них. В итоге 1 (первый лучник) попал в мишень (а), 2 — в (б), 3 — в (в). Наблюдается следующая зависимость: 1 – (а), 2 – (б), 3 – (в). Выводом будет являться суждение о том, что такое сопоставление множеств — это биекция.
  • Вторая площадка для проведения турнира. Первый лучник попадает только в одну мишень. Второй также попадает только в одну мишень. Третий особо не старается и повторяет все за другими, но условие то же — все лучники попали в разные мишени. Но, как было сказано ранее, на второй площадке уже четыре мишени. Зависимость: 1 — (а), 2 — (б), 3 — (в), (г) — неспаренный элемент множества. В этом случае выводом будет являться суждение о том, что такое сопоставление множеств — это инъекция.
  • Третья площадка для проведения турнира. Первый лучник попадает только в одну мишень. Второй снова попадает только в одну мишень. Третий решает взять себя в руки и поражает третью и четвертую мишени. В итоге зависимость: 1 — (а), 2 — (б), 3 — (в), 3 — (г). Здесь же выводом будет являться суждение о том, что такое сопоставление множеств — это сюръекция.
  • Четвертая площадка для проведения турнира. С первым все уже ясно, он поражает только одну мишень, в которой скоро не останется места для уже надоевших попаданий. Теперь второй берет на себя роль еще недавнего третьего и снова попадает только в одну мишень, повторяя за первым. Третий продолжает держать себя в руках и не перестает знакомить свою стрелу с третьей и четвертой мишенью. Пятая, правда, ему все же оказалась неподвластна. Так, зависимость: 1 — (а), 2 — (б), 3 — (в), 3 — (г), (д) — неспаренный элемент множества мишеней. Вывод: такое сопоставление множеств — это не сюръекция, не инъекция и не биекция.
  • Теперь построить биекцию, инъекцию или сюръекцию не станет проблемой, так же как и найти отличия между ними.

    Источник

    About The Author
    admin

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *